1.3 NOTACIÓN FACTORIAL.

1.3 NOTACIÓN FACTORIAL.

1.- DECLARA QUE  (SEYMOUR  LIPSCHUTZ, 1992)

La notación factorial se usa la notación n!, léase “n factorial” , para denotar el producto de los enteros positivos de 1 a n, inclusive:

          N!=1.2.3……(n-2)(n-1)n

Equivalentemente, se define n! por

        1!=1        y      n!=n. (n-1)!   (Pág. 257).

2.- DECLARA QUE  (RALPH P. GRIMALDI, 1989)

Para un entero N menor al igual  factorial (que se denota con n!) se define como

0!=1,

N!=(n)(n-1)(n-2)...(3)(2)(1), para N menor al igual  1.

Así, 1!=1,2!=2,3!=6,4!=24 y 5!=120.ademas, para cada N menor al igual   0, (n+1)!= (n!).

Debemos tomar nota de la rapidez con que crecen los valores de N!. asi que, antes de proseguir, intentaremos tener una idea más clara de la velocidad con que crece N!. (pág.: 7)

3.- DECLARA QUE  (JOHN E. FREUND, 1992)

La notación factorial. En esta notación, el producto de todos los entero positivos menores o iguales  que el entero positivos N se conoce como “N  factorial) y se expresa como N! (pág.: 95).

EJEMPLO:

1.- (SEYMOUR  LIPSCHUTZ, 1992)

a)  2! = 1.2=2

5!=5.4! = 5.24=120. (Pág. 257).

2.- (RALPH P. GRIMALDI, 1989)

Existe 3!06 disposiciones con las letras P distinguidas para cada disposición en las seis letras de P no se distingue. Por ejemplo , P1,EP2,P3,ER, P1,EP2,P3,ER, P1,EP2,P3,ER, P1,EP2,P3,ER, P1,EP2,P3,ER, Y P1,EP2,P3,ER corresponde a PEPPER cuando eliminamos los subíndices de las letras P.(pág.9).

3.- (JOHN E. FREUND, 1992)

1!=1

2!=2.1=2

3! =3.2.1=6

4! =4.3.2.1=24

5! =5.4.3.2.1=120

6! =6.5.4.3.2.1=720

  . . . . . .

(pág.: 95)

1.4 PERMUTACIONES.

1.- DECLARA QUE (JOSÉ A. JIMENEZ MURILLO, 2008)

Las permutaciones son el número de formas distintas en que uno o varios objetos pueden colocarse, intercambiando sus lugares y siguiendo ciertas reglas específicas para guardar un orden. También se puede considerar como todo arreglo en el que es importante la posición que ocupa cada uno de los elementos que integran dicho arreglo. (Pág. 46).

                                                                               

                                               

2.- DECLARA QUE  (RALPH P. GRIMALDI, 1989)

Las permutaciones ahora, usando la regla del producto, se contarán disposiciones de objetos colocados según un orden o diseño especifico. Estas disposiciones suele denominarse permutaciones. Para tratarlas, se desarrollarán algunos métodos sistemáticos (Pág. 3).

3.- DECLARA QUE (MURRAY R. SPIEGEL, 2010)

Suponga que se tiene n objetos diferentes y que se desea ordenar r d estos objetos uno tras otro en una linea.como hay n maneras distintas de elegir el primer objetos y despues n=1 maneras diferentes de elegir el segundo objetos,… y por ultimo n-r+1 maneras diversas de elegir el objetor-esimo, se deduce, de acuerdo con el principio funtamental de conteo.  (Pág. 9).

EJEMPLO:

1.-(JOSÉ A. JIMENEZ MURILLO, 2008)

En el sistema trinario son válidos los dígitos 0,1y 2  de tal forma que:

a)    El numero de permutaciones en trinario en grupos de 2 sin que repitan los dígitos es:

a)    El numero de permutaciones en trinario en grupos de 2 sin que repetición es.

(Pág. 50).

2.- (RALPH P. GRIMALDI, 1989)

El numero de permutaciones de las letras de la palabra COMPUTER es 8!. Si se toman solo cuatro de esas letras, el número de permutaciones (de tamaño cuatro) es:

(8.4) =8! / (8-4)! = 8!/4! = 1680. Si se permiten repeticiones de letras, el número de sucesiones posibles de 12 letras es 8^12 = 6.872 * 10^10. (Pág. 5).

(Pág. 9).

.

1.5 COMBINACIONES.

1.- DECLARA QUE (JOSÉ A. JIMENEZ MURILLO, 2008)

Combinaciones es todo  arreglo de elementos que se seleccionan de un conjunto, en donde no interesa la posición que ocupa cada uno de los elementos en el arreglo, este es, no importa si un elemento determinado es el primero, el de en medio o el que está al final del arreglo.

 El número de combinaciones de n objetos distintos, tomados r a la vez, se encuentra dado por la expresión.

(Pág. 52).

2.- DECLARA QUE (SEYMOUR  LIPSCHUTZ, 1992)

Supóngase que tenemos una colección de n objetos. Una combinación de estos n objetos tomando r a la vez es cualquier selección de r de los objetos en donde el orden no importa. En otras palabras,    una combinación de n objetos tomando r a la vez es cualquier  subconjunto que contenga r objetos. (Pág. 262).

3.- DECLARA QUE (MURRAY R. SPIEGEL, 2010)

En las permutaciones interesa el orden de los objetos. Por ejemplo, ABC es una permutación diferente de bca. Sin embargo, en muchos problemas solo estamos interesados en seleccionar o escoger objetos sin importar su orden. A estas elecciones se les llama combinaciones. (Pág. 9).

EJEMPLO:

 1.- (JOSÉ A. JIMENEZ MURILLO, 2008)

Se tienen 10 computadoras y 6 impresoras. Determinar el número de paquetes que es posible formar, si se desea que estos contengan 4 computadoras y 3 impresoras.

Las formas en que se pueden seleccionar 4 computadoras de un grupo de 10 son:

Las maneras en que es posible seleccionar 3 impresoras de un grupo de

6 es:

Por la regla del producto se obtiene que el número de paquetes diferentes que se pueden formar, conteniendo 4 computadoras y 3 impresoras es:

                               Paquetes=210*20=4200. (Pág. 52).

2.-(SEYMOUR LIPSCHUTZ, 1992)

Cuantos comités de tres personas se  puedes formar con ocho personas cada comité representa una combinación de ocho personas tomando tres a la vez:

 (Pág. 262).

                                          

3.-(RALPH P. GRIMALDI, 1989)

Una señora ofrece una  cena para algunos de los miembros de su comité de caridad. Debido al tamaño de su casa, solo puede invitar a 11 de los 20 miembro del comité .como el orden no importa, puede invitar a los 11 afortunados de (20/11)=20! / (11!9!)=167960 formas. (Pág. 11).

1.6 DIAGRAMA DE ÁRBOL.

 1.-DECLARA QUE (SEYMOUR LIPSCHUTZ, 1992)

Un diagrama de árbol (con raíz) ayuda en el uso del principio fundamental de conteo exhibiendo todos los resultados posibles de una sucesión de eventos en donde cada evento puede ocurrir de un número finito de maneras. (pag.263)

2.- DECLARA QUE (SEYMOUR LIPSCHUTZ, 1992)

El conjunto producto se obtiene construyendo un diagrama de árbol como se muestra en la figura 11.5 observe que el árbol está construido de izquierda a derecha, y que el número de ramas en cada punto corresponde al número de maneras como puede ocurrir el siguiente evento. (pag.270)

3.- DECLARA QUE (GERMÁN GONZÁLEZ)

Una cosa  es conocer el número de permutaciones o el de variación y otra enumerar cada una de ellas. Una herramienta que se suele utilizar para enumerar todos los casos posibles son los diagramas de árbol. (Pag, 238)

EJEMPLO:

1.- (SEYMOUR LIPSCHUTZ, 1992)

Marcos y Ernesto van a jugar en un torneo de tenis. la primera persona en ganar dos encuentros seguidos o en ganar un total de tres encuentros gana el torneo. La figura 11-4 de un diagrama de árbol que muestra cómo puede resultar el torneo. El árbol está construido de izquierda a derecha en cada punto (juego) que no sea un poco final, se originan dos ramas, que corresponden a los dos posibles resultados de ese juego, o sea que gane marcos o que gane Ernesto. Observe que hay 10 puntos finales, que corresponden a las 10 posibles maneras como puede desarrollarse el torneo. (Pág., 263)

2.- (SEYMOUR LIPSCHUTZ, 1992)

El corolario 11.3 nos dice que hay 3! = 3.2.1=6 permutaciones; se puede usar un diagrama de árbol para representarlas. Esto se hace en la fig.11-6,en donde las seis permutaciones aparecen a la derecha del diagrama.(pág., 270)

3.- (GERMÁN GONZÁLEZ)

Utilizar  un diagrama de árbol para enumerar los números de 4 cifras distintas que se pueden escribir con los dígitos 0, 1,2 ,3 y 4. Como el número no puede empezar por cero, en la primera columna estarán el 1, 2, 3 y 4. (Pág., 238)

1.7 TEOREMA DEL BINOMIO.

1.-  DECLARA QUE (JOSÉ MANUEL BECERRA ESPINOSA, 2005)

El teorema del binomio, también llamado binomio de newton, expresa l enésima potencia de un binomio como un polinomio. El desarrollo del binomio (a +b)n posee singular importancia ya que aparece con mucha frecuencia en matemáticas y posee diversas aplicaciones en otras área de conocimiento. (Pág. 50).

2.- DECLARA QUE (ELENA DE OTEYZA DE OTEYZA, 1998).

Para qué valor de x se tiene el cuadrado de lado 1=x y el rectángulo de lados 1 y x, tiene igual área

Solución:

Debemos encontrar una solución de la ecuación:

(1=x) elevado 2 =x. y además, como x y 1=x son las longitudes del rectángulo entonces dicha solución debe satisfacer también las desigualdades 0<x <1. (pág. 220)

3.- DECLARA QUE (RALPH P. GRIMALDI, 1989)

Demostración: como en la demostración del teorema del binomio, el coeficiente de x1, x2, x3…. x1 es el número de formas en que podemos elegir  x1 de n1 de la n factores.x2 de n2 de los n-n1 factores restantes, x3 de n2 de los n-n1-n2 factores rotantes.(pag:28).

 EJEMPLO:

1.- DECLARA QUE (JOSÉ MANUEL BECERRA ESPINOSA, 2005)

Se obtiene  para  el desarrollo de (2x-5y) elevado  4

Solución.

Haciendo a=2x y b=5y

Aplicando la formula se tiene:

2.- (ELENA DE OTEYZA DE OTEYZA, 1998).

Desarrollar (a + b) elevado 4

Solución:

Escribimos (a + b) elevado 4 = (a + b) elevado 3 (a+ b) por las identidades antes obtenidas se llega a:

(  a + b) elevado 3 (a + b) =(a elevado 3 + 3ª elevado  b + 3ab elevado 2 + b elevado 2).(pág. :221)

3.- (RALPH P. GRIMALDI, 1989)

En el desarrollo de ( x +y +z) elevado  7 , se sigue, del teorema multinomial,  que el coeficiente de x2 y2 3 es (7/2,2,2)=7!/2!2!3!=210,  mientras que el coeficiente de xyz elevado 5 es (7/1,1,5)=42 y el de x3 y4 es (7/3,0,4)=35.(pág:28)

LISTA BIBLIOGRAFÍA

Ø  Johnsonbaugh, Richard, 2005) MATEMÁTICAS DISCRETAS, 6 ed.), México, Pearson Educación.

Ø  José A. Murillo, 2008) MATEMÁTICAS PARA LA COMPUTACIÓN,1 ed.), México,

Alfa omega grupo editor, S.A. de C.V.

Ø  Ronald E. Walpole, Raymond H. Myers, Sharon L. Myers Y Keying Ye, 2012). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. 9ª. Edición. México: Pearson Educación.

Ø  SEYMOUR LIPSCHUTZ, 1992) MATEMATICAS PARA COMPUTACION ,1 ed.) México.

Ø  JOHN E. FREUND, 1992) ESTADISTICA ELEMNTAL, 8 ed.)

Principio aditivo

1.-según (Carlos prado campos 1970)

Principio de adición .supongamos que un procedimiento, designado con 1, se puede hacer de N1 maneras. Supongamos que un segundo procedimientos, designado con 2, se puede hacer de N1 maneras. Supongamos además que no  es posible que ambos, 1 y 2, se hagan  juntos, entonces, el numero  de maneras como se puede hacer 1 o 2 en N1 +N2 

(Pag: 32)

                                                                                                                                                                                                                          

 2.- de acuerdo a (José a.jimenes murillo, 2011)

este principio establece que si un evento se puede llevar a cabo en n o m lugares distintos, además de no ser posible que se lleve a cabo el mismo evento en dos lugares distintos al mismo tiempo, entonces el evento se puede realzar de m +n maneras diferentes. (Pag; 45)

                                                                                                    

3.-Ralph p. Grimaldi, 1994)

Si una primera tarea puede realizarse de “m” formas, mientras que una segunda tarea puede realizarse de “n” formas, y no es posible realizar ambas tareas de manera simultánea, entonces, para llevar a cabo cualquier de ellas pueden utilizarse cualquiera de  m + n formas

                                                                                                    (Pag; 4)                                                                                                                                   

4.-ejemplo del uso de aplicación de principio aditivo

 1.- según (Carlos prado campos 1970)

Supongamos que planeamos un viaje y debemos decidir entre transportarnos por autobús o por tren. si hay tren rutas para autobús y dos para el tren, entonces hay 3+2 =5 rutas diferentes disponibles para viaje. Pag: 33

                                                                                                         

2.- de acuerdo a (José a. Jiménez murillo, 2008)

Una persona puede pagar el servicio de agua potable en cualquiera de las 7 oficinas municipales o  bien en  cualquiera de los 30 bancos de la ciudad, ¿en cuántos lugares diferentes se puede pagar el servicio de agua potable?

             r=lugares en donde se pueden pagar = n + m= 7 + 30 = 37. (Pag; 45)

                                                              

                                                                                                                                                                                                                                     

3. - Ralph p. Grimaldi, 1994)  

La biblioteca de una universidad tiene 40 libros de texto de sociología y 50 de antropología. Por la    regla de la suma, un  entre 40+50= 90 libros de texto para aprender acerca de alguna de estos dos temas.    (Pag; 4)                                                                                                                            

                                               

                                                                                                                                                                                       

    Principio multiplicativo

1.-según (Williams w. 1994)

Principio de multiplicativo: si las  conjuntos  A1, A2  AK Tienen, respectivamente N1, N2  NK elementos entonces hay N1, N2 NK  números de seleccionar primero un elementos de A1, seleccionar después un elemento de A2 y finalmente seleccionar un elemento de  AK.(Pag: 50)

                                                                                                             

2.-de acuerdo a (Williams w. 1987)

si las  conjunto  A1 ,A2  .AK  tienen, respectivamente  N1 ,N2  NK elementos entonces existen N1 ,N2  NK   formas de seleccionar primero un elementos de A_1 , seleccionar después un elemento de   A2 y finalmente seleccionar un elemento de  AK.(Pag: 43)

                                                                                                           

3.- (Carlos prados 1970 señala que :

Supongamos que un procedimiento, designado como 1, puede hacerse de n, maneras .y supongamos que  un segundo procedimiento, designado como 2, se puede hacer de   N2 maneras  y también supongamos que cada uno de las maneras de efectuar.(Pag: 31)

                                                                                                                                                                                                                           

                                                                                                          

                                      

4.-ejemplo del uso de aplicación de principio multiplicativo

 1.- según William 1994)

Un proceso de manufactura se efectúa con muy poca “inspección en el propio proceso” .cuando se terminan los artículos se transportan a un área de inspección, y se inspeccionan cuatro características, cada una por un inspector diferente. el primer inspector evalúa una característica de acuerdo con uno de cuatro valores.

Habría un total de 4.3.2.=48 maneras.

                                                                                                      Pag: 51

 2.-de acuerdo a William 1987) 

supóngase que se arroja una moneda perfecta y se tira un dado perfecto .ya que la moneda y el dado son perfecto, los dos resultados para e1,t1= {h,t}.son igualmente posibles y los seis resultados para e2,t2={1,2,3,4,5,6},son igualmente posibles. Ya que n1 =2 y n2=6 existen doce resultados para el experimento total y los resultados son igualmente posibles. Debidos a la simplicidad del experimento en este caso, un diagrama de árbol permite una enumeración fácil y completa.

                                                                             

                                                                                                            pag: 44

3.- (Lizárraga Márquez)  señala que:

Pablo se inscribió en un concurso de oratoria y obtuvo el primer lugar. El premio consistió en un viaje por cinco días al lugar que el seleccionara, en el  medio de transporte de su preferencia, y con un acompañante.se encontraba en un problema ya que no sabía cómo seleccionar su premio.

                      

                                                                                                             Pag: 9           

Lista de referencia o bibliografía 

* William 1994  probabilidad y estadística, tercera edición .México, editorial  cecsa

*Carlos prado campos 1970 probabilidad y aplicaciones estadísticas, editorial addison.wesley b.

* José a. Jiménez murillo, matemáticas para la computación, primera edición alfa omega grupo editor, México, diciembre 2008.

1.3 NOTACIÓN FACTORIAL.

1.- DECLARA QUE  (SEYMOUR  LIPSCHUTZ, 1992)

La notación factorial se usa la notación n!, léase “n factorial” , para denotar el producto de los enteros positivos de 1 a n, inclusive:

          N!=1.2.3……(n-2)(n-1)n

Equivalentemente, se define n! por

        1!=1        y      n!=n. (n-1)!   (Pág. 257).

2.- DECLARA QUE  (RALPH P. GRIMALDI, 1989)

Para un entero N menor al igual  factorial (que se denota con n!) se define como

0!=1,

N!=(n)(n-1)(n-2)...(3)(2)(1), para N menor al igual  1.

Así, 1!=1,2!=2,3!=6,4!=24 y 5!=120.ademas, para cada N menor al igual   0, (n+1)!= (n!).

Debemos tomar nota de la rapidez con que crecen los valores de N!. asi que, antes de proseguir, intentaremos tener una idea más clara de la velocidad con que crece N!. (pág.: 7)

3.- DECLARA QUE  (JOHN E. FREUND, 1992)

La notación factorial. En esta notación, el producto de todos los entero positivos menores o iguales  que el entero positivos N se conoce como “N  factorial) y se expresa como N! (pág.: 95).

EJEMPLO:

1.- (SEYMOUR  LIPSCHUTZ, 1992)

a)  2! = 1.2=2

5!=5.4! = 5.24=120. (Pág. 257).

2.- (RALPH P. GRIMALDI, 1989)

Existe 3!06 disposiciones con las letras P distinguidas para cada disposición en las seis letras de P no se distingue. Por ejemplo , P1,EP2,P3,ER, P1,EP2,P3,ER, P1,EP2,P3,ER, P1,EP2,P3,ER, P1,EP2,P3,ER, Y P1,EP2,P3,ER corresponde a PEPPER cuando eliminamos los subíndices de las letras P.(pág.9).

3.- (JOHN E. FREUND, 1992)

1!=1

2!=2.1=2

3! =3.2.1=6

4! =4.3.2.1=24

5! =5.4.3.2.1=120

6! =6.5.4.3.2.1=720

  . . . . . .

(pág.: 95)

1.4 PERMUTACIONES.

1.- DECLARA QUE (JOSÉ A. JIMENEZ MURILLO, 2008)

Las permutaciones son el número de formas distintas en que uno o varios objetos pueden colocarse, intercambiando sus lugares y siguiendo ciertas reglas específicas para guardar un orden. También se puede considerar como todo arreglo en el que es importante la posición que ocupa cada uno de los elementos que integran dicho arreglo. (Pág. 46).

                                                                               

                                               

2.- DECLARA QUE  (RALPH P. GRIMALDI, 1989)

Las permutaciones ahora, usando la regla del producto, se contarán disposiciones de objetos colocados según un orden o diseño especifico. Estas disposiciones suele denominarse permutaciones. Para tratarlas, se desarrollarán algunos métodos sistemáticos (Pág. 3).

3.- DECLARA QUE (MURRAY R. SPIEGEL, 2010)

Suponga que se tiene n objetos diferentes y que se desea ordenar r d estos objetos uno tras otro en una linea.como hay n maneras distintas de elegir el primer objetos y despues n=1 maneras diferentes de elegir el segundo objetos,… y por ultimo n-r+1 maneras diversas de elegir el objetor-esimo, se deduce, de acuerdo con el principio funtamental de conteo.  (Pág. 9).

EJEMPLO:

1.-(JOSÉ A. JIMENEZ MURILLO, 2008)

En el sistema trinario son válidos los dígitos 0,1y 2  de tal forma que:

a)    El numero de permutaciones en trinario en grupos de 2 sin que repitan los dígitos es:

P (3,2)= 3! / (3-2)!= 3!/1!= 16   

{12, 13, 21, 23,31, 32}

a)    El numero de permutaciones en trinario en grupos de 2 sin que repetición es.

3^2=9

{11, 12, 13, 21, 22  ,23,31,32,33} (Pág. 50).

2.- (RALPH P. GRIMALDI, 1989)

El numero de permutaciones de las letras de la palabra COMPUTER es 8!. Si se toman solo cuatro de esas letras, el número de permutaciones (de tamaño cuatro) es:

(8.4) =8! / (8-4)! = 8!/4! = 1680. Si se permiten repeticiones de letras, el número de sucesiones posibles de 12 letras es 8^12 = 6.872 * 10^10. (Pág. 5).

11! / 1!4!4!2!=34.650. (Pág. 9).

1.5 COMBINACIONES.

1.- DECLARA QUE (JOSÉ A. JIMENEZ MURILLO, 2008)

Combinaciones es todo  arreglo de elementos que se seleccionan de un conjunto, en donde no interesa la posición que ocupa cada uno de los elementos en el arreglo, este es, no importa si un elemento determinado es el primero, el de en medio o el que está al final del arreglo.

 El número de combinaciones de n objetos distintos, tomados r a la vez, se encuentra dado por la expresión.(Pág. 52).

2.- DECLARA QUE (SEYMOUR  LIPSCHUTZ, 1992)

Supóngase que tenemos una colección de n objetos. Una combinación de estos n objetos tomando r a la vez es cualquier selección de r de los objetos en donde el orden no importa. En otras palabras,    una combinación de n objetos tomando r a la vez es cualquier  subconjunto que contenga r objetos. (Pág. 262).

3.- DECLARA QUE (MURRAY R. SPIEGEL, 2010)

En las permutaciones interesa el orden de los objetos. Por ejemplo, ABC es una permutación diferente de bca. Sin embargo, en muchos problemas solo estamos interesados en seleccionar o escoger objetos sin importar su orden. A estas elecciones se les llama combinaciones. (Pág. 9).

EJEMPLO:

 1.- (JOSÉ A. JIMENEZ MURILLO, 2008)

Se tienen 10 computadoras y 6 impresoras. Determinar el número de paquetes que es posible formar, si se desea que estos contengan 4 computadoras y 3 impresoras.

Las formas en que se pueden seleccionar 4 computadoras de un grupo de 10 son:

                           (10/4)=10!/4!(10-4)!=210

Las maneras en que es posible seleccionar 3 impresoras de un grupo de

6 es:

                                            (6/3)/6!/3!(6-3)!=20

Por la regla del producto se obtiene que el número de paquetes diferentes que se pueden formar, conteniendo 4 computadoras y 3 impresoras es:

                               Paquetes=210*20=4200. (Pág. 52).

2.-(SEYMOUR LIPSCHUTZ, 1992)

Cuantos comités de tres personas se  puedes formar con ocho personas cada comité representa una combinación de ocho personas tomando tres a la vez:

                                           c,(8.3)=(8/3)=8.7.6/1.23=56  (Pág. 262).

3.-(RALPH P. GRIMALDI, 1989)

Una señora ofrece una  cena para algunos de los miembros de su comité de caridad. Debido al tamaño de su casa, solo puede invitar a 11 de los 20 miembro del comité .como el orden no importa, puede invitar a los 11 afortunados de (20/11)=20! / (11!9!)=167960 formas. (Pág. 11).

1.6 DIAGRAMA DE ÁRBOL.

 1.-DECLARA QUE (SEYMOUR LIPSCHUTZ, 1992)

Un diagrama de árbol (con raíz) ayuda en el uso del principio fundamental de conteo exhibiendo todos los resultados posibles de una sucesión de eventos en donde cada evento puede ocurrir de un número finito de maneras. (pag.263)

2.- DECLARA QUE (SEYMOUR LIPSCHUTZ, 1992)

El conjunto producto se obtiene construyendo un diagrama de árbol como se muestra en la figura 11.5 observe que el árbol está construido de izquierda a derecha, y que el número de ramas en cada punto corresponde al número de maneras como puede ocurrir el siguiente evento. (pag.270)

3.- DECLARA QUE (GERMÁN GONZÁLEZ)

Una cosa  es conocer el número de permutaciones o el de variación y otra enumerar cada una de ellas. Una herramienta que se suele utilizar para enumerar todos los casos posibles son los diagramas de árbol. (Pag, 238)

EJEMPLO:

1.- (SEYMOUR LIPSCHUTZ, 1992)

Marcos y Ernesto van a jugar en un torneo de tenis. la primera persona en ganar dos encuentros seguidos o en ganar un total de tres encuentros gana el torneo. La figura 11-4 de un diagrama de árbol que muestra cómo puede resultar el torneo. El árbol está construido de izquierda a derecha en cada punto (juego) que no sea un poco final, se originan dos ramas, que corresponden a los dos posibles resultados de ese juego, o sea que gane marcos o que gane Ernesto. Observe que hay 10 puntos finales, que corresponden a las 10 posibles maneras como puede desarrollarse el torneo. (Pág., 263)

2.- (SEYMOUR LIPSCHUTZ, 1992)

El corolario 11.3 nos dice que hay 3! = 3.2.1=6 permutaciones; se puede usar un diagrama de árbol para representarlas. Esto se hace en la fig.11-6,en donde las seis permutaciones aparecen a la derecha del diagrama.(pág., 270)

3.- (GERMÁN GONZÁLEZ)

Utilizar  un diagrama de árbol para enumerar los números de 4 cifras distintas que se pueden escribir con los dígitos 0, 1,2 ,3 y 4. Como el número no puede empezar por cero, en la primera columna estarán el 1, 2, 3 y 4. (Pág., 238)

1.7 TEOREMA DEL BINOMIO.

1.-  DECLARA QUE (JOSÉ MANUEL BECERRA ESPINOSA, 2005)

El teorema del binomio, también llamado binomio de newton, expresa l enésima potencia de un binomio como un polinomio. El desarrollo del binomio (a +b)n posee singular importancia ya que aparece con mucha frecuencia en matemáticas y posee diversas aplicaciones en otras área de conocimiento. (Pág. 50).

2.- DECLARA QUE (ELENA DE OTEYZA DE OTEYZA, 1998).

Para qué valor de x se tiene el cuadrado de lado 1=x y el rectángulo de lados 1 y x, tiene igual área

Solución:

Debemos encontrar una solución de la ecuación:

(1=x) elevado 2 =x. y además, como x y 1=x son las longitudes del rectángulo entonces dicha solución debe satisfacer también las desigualdades 0<x <1. (pág. 220)

3.- DECLARA QUE (RALPH P. GRIMALDI, 1989)

Demostración: como en la demostración del teorema del binomio, el coeficiente de x1, x2, x3…. x1 es el número de formas en que podemos elegir  x1 de n1 de la n factores.x2 de n2 de los n-n1 factores restantes, x3 de n2 de los n-n1-n2 factores rotantes.(pag:28).

 EJEMPLO:

1.- DECLARA QUE (JOSÉ MANUEL BECERRA ESPINOSA, 2005)

Se obtiene  para  el desarrollo de (2x-5y) elevado  4

Solución.

Haciendo a=2x y b=5y

Aplicando la formula se tiene:

2.- (ELENA DE OTEYZA DE OTEYZA, 1998).

Desarrollar (a + b) elevado 4

Solución:

Escribimos (a + b) elevado 4 = (a + b) elevado 3 (a+ b) por las identidades antes obtenidas se llega a:

(  a + b) elevado 3 (a + b) =(a elevado 3 + 3ª elevado  b + 3ab elevado 2 + b elevado 2).(pág. :221)

3.- (RALPH P. GRIMALDI, 1989)

En el desarrollo de ( x +y +z) elevado  7 , se sigue, del teorema multinomial,  que el coeficiente de x2 y2 3 es (7/2,2,2)=7!/2!2!3!=210,  mientras que el coeficiente de xyz elevado 5 es (7/1,1,5)=42 y el de x3 y4 es (7/3,0,4)=35.(pág:28)

LISTA BIBLIOGRAFÍA

Ø  Johnsonbaugh, Richard, 2005) MATEMÁTICAS DISCRETAS, 6 ed.), México, Pearson Educación.

Ø  José A. Murillo, 2008) MATEMÁTICAS PARA LA COMPUTACIÓN,1 ed.), México,

Alfa omega grupo editor, S.A. de C.V.

Ø  Ronald E. Walpole, Raymond H. Myers, Sharon L. Myers Y Keying Ye, 2012). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. 9ª. Edición. México: Pearson Educación.

Ø  SEYMOUR LIPSCHUTZ, 1992) MATEMATICAS PARA COMPUTACION ,1 ed.) México.

Ø  JOHN E. FREUND, 1992) ESTADISTICA ELEMNTAL, 8 ed.)