UNIDAD 2 FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE PROBABILIDAD
2.1 Teoría elemental de probabilidad.
1.- Declara que (J.
Sussan Milton, Jesse C. Arnold 2004)
La probabilidad s un numero entre 0 y 1, inclusive que
refleja cuanto factible es que ocurra un evento físico.
2.-que
la probabilidad sea cercana a 1 indica que es muy factible que ocurra el
evento. Ello no significa que el evento
no ocurrirá, si no únicamente que se considera que es una ocurrencia
común,
3.-que
la probabilidad sea cercana a 0 refleja
que es muy poco factible que tenga lugar el evento .Ello no significa que necesariamente no ocurrirá, si no tan
solo que es un evento raro.
4.-puesto
que los número entre 0 y 1 pueden expresarse como porcentaje que van de 0 a
100, es usual representar las probabilidades en forma porcentual. Ello es
particularmente común en escritos de naturaleza no técnica.
2.-Declara
que (Murray R. Spiegel, 1991)
“cualquier
experimento aleatorio siempre hay incertidumbre sobre si un suceso especifico
ocurrirá o no. Como medida de la oportunidad o probabilidad con la que podemos
esperar que un suceso ocurra es conveniente asignar un número entre 0 y 1. Pero
si estamos seguros de que el suceso ocurrirá decimos que su probabilidad es
100% ó 1, pero si estamos seguros de que el suceso no ocurrirá decimos que su
probabilidad es cero.” (pág. 5)
3,-Declara que (Jay l. Devore, 2005)
“el termino probabilidad se refiere al
estudio de la aleatoriedad y la incertidumbre en cualquier situación donde
podría ocurrir uno de varios resultados posibles, la teoría de la probabilidad
proporciona métodos para cuantificar las probabilidades relacionada con varios
resultados.” (pág. 52
Ejemplo:
1.- Declara
que (Murray R. Spiegel, 1991)
“si la probabilidad es de ¼, diríamos
que hay un 25% de oportunidad de que ocurra y un 75% de oportunidad de que no
ocurra. Equivale a decir que la probabilidad contra su ocurrencia es de 75% al
25% o de 3 a 1.” (pág. 5)
2.-Declara que (Jay l. Devore, 2005)
“hay una probabilidad 50-50 de que el titular busque la
reelección.” (pág. 5)
2.2 Probabilidad de Eventos:
Definición de Espacio muestral:
1.-DECLARA
QUE (JAY L. DEVORE, 2008)
el espacio muestral de un experimento
denotado por, es el conjunto de todos los posibles resultados de dicho
experimento.(pag:49)
2.- DECLARA
QUE (JUAN ANTONIO GARCIA RAMOS, 2007)
espacio muestral asociado a un
experimento aleatorio al conjunto formado por todos los posibles resultados del
experimento aleatorio y el espacio muestral suele representarse por y los puntos muestral por w. (pag: 188)
3.- DECLARA
QUE (ELMER B. MODE ,1982)
el espacio muestral puesto
que los eventos aleatorios son los resultados del azar y varían de una
observación a otra o de un experimento a otro, emplearemos el símbolo X para
una variable aleatorio y X para el valor
real de X.(pag-.32)
Ejemplo:
1.- (JAY L. DEVORE, 2008)
El experimento más simple al que se aplica la
probabilidad es uno con dos posibles resultados. Tal experimento consiste en
examinar un fusible para ver si está defectuosa.
Él espacio muestral de este experimento se abrevia como S={N.D}.donde N representa no Defectuoso representa
defectuosos y las laves se utiliza para encerrar los elemento de un
conjunto.(pag:47)
2.- (JUAN
ANTONIO GARCIA RAMOS, 2007)
Consideremos el experimento aleatorio
consistente en lanzar un dado equilibrio de seis caras al aire y observar el
número de punto que forme en la cara superior. Su correspondiente espacio
muestral será = {1, 2,3, 4, 5,6}. (pag:118)
3.- (Elmer
B. Mode ,1982)
sea X el número de puntos que puede aparecer cuando se lanza un dado.
Los valores de X son limitados a los
enteros 1, 2, 3,4, 5 y 6. El conjunto de resultado posible es, por lo
tanto.(pag:32)
Definición de evento:
1.- -DECLARA
QUE (RONALD E. WALPOLE, 1999)
El experimento dado podemos estar
interesados en la ocurrencia de ciertos eventos más que en el resultado de un
elemento especifico en el espacio muestral. Por ejemplo, podemos estar
interesado en el evento A en el que el resultado
cuando se lanza un dado sea divisible entre 3.Éste
ocurrirás si el resultado es un elemento del subconjunto A= {3,6} (pag:13)
2.- DECLARA QUE JAY L. DEVORE, 2008)
Un evento es cualquier recopilación
(subconjunto) de resultados contenidos en el espacio muestral. Un evento es simple si consiste en
exactamente un resultado y compuesto si consiste en más de un resultado. (pág.
48)
3.- JAY L.
DEVORE, 2008
El evento de que el primer fusible esté defectuoso y B
el evento de que él esté defectuosos; entonces interpretamos como el
evento de que ocurre A, y entonces B ocurre después de que ocurre A. la
probabilidad de separar y un fusible defectuosos es 1/4 ; entonces la
probabilidad de separar un segundo defectuoso de los restantes 4 es 4/19 por
ello: (pág. 38)
Ejemplo:
1.- (Ronald
E. Walpole, 1999)
Sea
M= {a, e, i, o, u} y N= {r, s, t}; entonces se sigue que M N =es decir, M Y N no tienen elementos en
común y, por tanto, no pueden ocurrir ambos de forma simultánea. (Pag: 15)
2.- JAY
L. DEVORE, 2008)
Cuando se observa el número de bombas
en uso en cada una de dos gasolinerias de 6 bombas, existen 49 posibles
resultados, por lo que existen 49 evento simple: E1= {(0,0)}. E2= {(0,1)}…..E
infinita = {(6,6)}. (Pag: 48)
3.- JAY L. DEVORE, 2008
Una bola contiene cuatro bolas blancas y tres negras, y una segundo bolsa contiene tres blancas y
cinco negras.se saca un bola de la primera bolsa y se coloca sin verla en la
segunda. ¿Cuál es la probabilidad de que
ahora se saque una bola negra de la segunda bolsa.(pag:41)
SIMBOLOGÍA
UNIONES E INTERSECCIONES
SIMBOLOGÍA:
La simbología que se usa para simplificar y representar
las relaciones que existen entre distintos conjuntos de cosas, es importante
conocer el significado de cada una de ellas para poder interpretar diferentes fórmulas.
EJEMPLO:
A= (1,2,3,4,5,6)
Aquí podremos ver que el conjunto está representados por
la letra A y los números 1,2,3,4,5,6 pertenecen o están dentro de este conjunto
UNION:
El conjunto de todos los elementos o puntos que
pertenecen a A o B, o tanto a A como a B, se llama
unión de A y B y se escribe A U B (pag:2)
Es A U B = (0, 1, 2, 3, 4,5, 6, 7, 8, 9)
INTERSECCIÓN:
El conjunto de todos los elementos que pertenecen
simultáneamente a A y B se llama intersección de A y
B se escribe A ∩ B
tenemos los conjuntos X=(r,m,s,e,d,f) y Y=(m,t,l,k,s,f)
Entonces X ∩ Y = (m,x,f) Cuando existen dos
conjuntos tales que A ∩ B = 0, es decir que no tienen elementos
comunes, se llaman conjuntos Disjuntos. (pag:2)
DIFERENCIA:
El conjunto que consiste en todos los elementos de A que no pertenecen a B se le llama diferencia de A y B y se escribe A-B .
(pag:2)
COMPLEMENTO:
Si B pertenece a A,
entonces A-B se llamara complemento
de B relativo a A y se escribe B'a, si A = u, el conjunto universal
nos referimos a u-B. . (pag:2)
Diagramas de Venn.
1.- -DECLARA
QUE (MURRAY R. SPIEGEL)
2.-DECLARA QUE ELMER B. MODE ,1982)
Es un
conjunto mediante puntos, y al conjunto
mismo mediante un agregado de estos puntos contenidos dentro de un círculo o de
cualquier región cerrada simple.
Esta
forma, que se emplea para derivar las propiedades de los conjuntos, fue
sugerida por John venn, en 1881. Una forma convenientes, aunque no
estrictamente necesaria de representar al conjunto universal. (pag:10)
3.- DECLARA
QUE (JOSE A. JIMENEZ MURILLO 2008)
Los
diagramas de venn son representaciones gráficas
para mostrar la relación entre
los elementos de los conjuntos. Por lo general cada conjunto se representa por
medio de un circulo, ovalo o rectángulo, y la forma en que se entre lanzan las
figuras que representan a los conjuntos muestra la relación que existe entre
los elementos de los respectivos conjuntos. (Pag: 79)
EJEMPLO
1.-(Murray
R. Spiegel, 1991)
si lanzamos un dado,
un espacio muestral de todos los resultados posibles se da por {1, 2, 3, 4, 5,
6} en tonto que otro es {par, impar} sin embargo, es lógico que el último no
sería adecuado para determinar, por ejemplo, si un resultado es divisible a 3.”
(pág. 4)
2.-(walpole, Ronald E.,
1999)
un experimento
consiste en lanzar una moneda y después lanzarla una segunda vez si sale cara.
Si sale cruz en el primer lanzamiento, entonces se lanza un dado una vez. Para
listar los elementos del espacio muestral que proporcione la mayor información,
construimos el diagrama de árbol. Ahora bien, las diversas trayectorias a lo
largo de la rama del árbol dan los distintos puntos de la muestra.
S= {HH, HT, T1, T2, T3, T4, T5, T6}.
3.- Jay L. Devore, 2005)
Si
se examina tres fusibles en secuencia y se observa el resultado de cada examen,
entonces un resultado para todo el experimento es cualquier secuencia de letras
N y D de tamaño3, por lo tanto.
S= {NNN. NND. NDN, NDD, DNN, DND,
DDN, DDD}
Si
se hubiera lanzado al aire una tachuela tres veces, el espacio muestral se
obtendrá sustituyendo N por U en S con un cambio de notación que produce el
mismo espacio muestral para el experimento en el que se observa el género de
tres niños recién nacidos.” (pág. 53)
2.3 Probabilidad con Técnicas de Conteo:
Axiomas, Teoremas.
Probabilidad con Técnicas de Conteo
1.-DECLARA
QUE (HAROLD J. LARSON 1978)
Técnicas de conteo como se mencionó en
la sección anterior, muchos problemas de probabilidad pueden solucionarse contado los elementos que
pertenecen a los diferentes conjuntos. Para ello, es muy útil tener a la mano
varias técnicas, la cuales ayudarás a
resolver los problemas de probabilidad en que parecen estos conjuntos. (Pag:52)
Los axiomas de la
probabilidad
Supóngase que tenemos un espacio muestral S. si S
es discreto todos los subconjunto corresponden a suceso y
recíprocamente, pero si S es continuo
solamente subconjunto especiales
(llamados medibles) corresponden a sucesos. A cada suceso A en la clase C de
sucesos asociamos un número real p(A), es decir p es una función de valor real
definida en C.(pag:6)
TEOREMAS IMPORTANTES SOBRE PROBABILIDAD
Los axiomas anteriores podemos demostrar varios teoremas
sobre probabilidad que son importantes en el estudio posterior. .(pag:6 y 7)
Probabilidad
condicional
1.- DECLARA QUE (MURRAY R.
SPIEGEL )
Sea A y B dos sucesos tales que p(A) > 0. Denotamos por
p(B) la probabilidad de B dado que A ha ocurridos.puesto que se sabe que A ha
ocurrido, se conveniente en el nuevo espacio muestral replazando el
original.(pag:8)
2.- DECLARA QUE JAY L. DEVORE, 2008)
La probabilidad de que un evento B
ocurra cuando se sabe que ya ocurrió
algún evento A se lama probabilidad condicional y se denota por P(B|A).el
símbolo p(B|A) por lo general se lee “la probabilidad de que ocurra B dado que
ocurrió A”
(pag: 35)
3.-IRWIN MILLER, JOHN E. FREUND (1963)
En la forma en que hemos definido la
probabilidad, solo podremos hablar de ella con relación a un espacio muestral S
dado .la probabilidad de que un ingeniero tenga un salario de 10 000 dólares o
más.(pag:23)
1.-Sucesos independientes si p(B|A) =
P(B), es decir la probabilidad de que B ocurra no estas afectada por la
ocurrencia o no ocurrencia de A, entonces decimos que A y B son sucesos
independientes. Esto es equivalente a (pag: 9)
2.5 Ley multiplicativa.
1.- 1. DECLARA QUE (WALPOLE. MYERS, 2008)
Al multiplicar la fórmula de la definición 2.10 por P(A),
obtenemos la siguiente regla Multiplicativa importante (o regla de producto),
que nos permite calcular la probabilidad De que ocurran dos eventos. Si en un
experimento pueden ocurrir los eventos A y B,
entonces P(A ∩ B) = P(A) P (B|A),
siempre que P(A) > 0.”(Pág. 64).
2.6 Eventos
independientes: Regla de Bayes.
1.- (MURRAY R. SPIEGEL ) Regla de Bayes.
Supongase que A1,A2…An son sucesos mutuamente
excluyentes cuya unicion es el espacio muestral S. es decir uno de los sucesos
debe ocurrir.entonces si A es cualquier suceso tenemos el siguiente teorema
importantes: (pag:9)
Demostrar el teorema de bayes
Puesto que A resulta en uno de los sucesos mutuamente excluyentes
A1,A2….An tenemos por el teorema.(pag: 20)
2.7 Variable aleatoria.
1.- DECLARA QUE (MURRAY R. SPIEGEL)
Supóngase que a cada punto de un espacio muestral asignamos un número. Así
definimos una
Función en el
espacio
muestral. Esta función se llama variable aleatoria (o variable estocástica) o mayúscula como X 6 Y. En
general una variable aleatoria tiene algún significado físico, geométrico U otro.
(pag:38)
2.-declara
que DOUGLAS C.MONTGOMERY)
Una variable aleatoria es una función que
asigna un número real a cada resultado en el espacio muestral de un experimento
aleatorio.
Las variables aleatorias se denotan
con una letra mayúscula, tal como X, y con una letra minúscula, como x, el
valor posible de X. El conjunto de los posibles
valores de la variable aleatoria X recibe el nombre de RANGO DE X.(pag:100)
Ejemplo
1.- (MURRAY R. SPIEGEL)
Supóngase que se lanza una moneda dos veces
de tal forma que el espacio muestral es cf. {CC. Cs, SC SS). Represéntese por X
el número de caras que pueden resultar. Con cada punto muestral podemos asociar
un número para X como se muestra en la Tabla 2-1. Así en el caso de CC'(es decir
2 cara) X =2 el tanto que para SC (1 cara) X = 1. Se concluye que X es una variable aleatoria.(pag:38)
VARIABLES ALEATORIAS CONJUNTAS:
1.- DECLARA QUE
YAL L. DEVORE 2008)
Para un espacio muestral dado S de algún
experimento, una variable aleatoria (va, oro, por sus siglas en
inglés) es cualquier regla que asocia un número con cada resultado en S.
En lenguaje matemático, una variable aleatoria es una función cuyo dominio es
el espacio muestral y cuyo rango es el conjunto de números reales.(pág. 87)
2.10 Modelos analíticos de fenómenos
Aleatorios continuos.
1.- Yal l.
devore (2008) declara que “Una variable aleatoria es continua si ambas
de las siguientes condiciones aplican: 1. Su conjunto de valores posibles
se compone de o todos los números que hay en un solo intervalo sobre la línea
de numeración (posiblemente de extensión infinita, es decir, desde hasta o todos los números en una unión excluyente de
dichos intervalos
(p. ej., [0,
10] _ [20, 30]).P(X _ c) _ 0 con cualquier valor posible de c.”
(pag. 89)
** BIBLIOGRAFÍA**
JAY L. DEVORE, 2008) Probabilidad y estadística para
ingeniería y ciencias séptima edición, México CENGAGE LEARNING.
JUAN ANTONIO GARCIA RAMOS, 2007) Estadística
empresarial 6 edición, UCA.
Elmer B. Mode ,1982) Elementos de probabilidad y
estadística editorial REVERTÉ S.A.
Ronald E. Walpole, 1999) probabilidad y estadística para
ingenieros sexta edición México
Pearson .
IRWIN MILLER, JOHN E. FREUND (1963) probabilida
y estadistica para ingeniero español Prentice-hall, inc., englewood clifs,
Yal l. devore 2008 Probabilidad y estadística para
ingeniería y ciencias séptima edición editorial CENGAGE LEARNIG 