4.9 DISTRIBUCIÓN F.

1.- SEGÚN  (HUMBERTO GUTIÉRREZ PULIDO Y ROMÁN DE LA VARA SALAZAR, 2009)

Sean W y Y variables aleatorias ji-cuadrada independientes con u y v grados de libertad, respectivamente. Entonces el cociente:

     

      

tiene una distribución F con u grados de libertad en el numerador, y v en el denominador, cuya función de densidad de probabilidad está dada por: (Pág. 59)

2.- SEGÚN  (HUMBERTO GUTIÉRREZ PULIDO Y ROMÁN DE LA VARA SALAZAR, 2009)

Sean W y Y variables aleatorias ji-cuadrada independientes con u y v grados de libertad, respectivamente. Entonces el cociente, tiene un distribución F con u grados de libertad en el numerador, y v en el denominador, cuya función de densidad de probabilidad está dada por: “(Pág. 59)

3. - SEGÚN (MURRAY R. SPIEGEL Y LARRY J. STEPHENS, 2009)

La distribución muestral de F se le llama distribución F de Fisher, o simplemente distribución F, con ν1 = N1− 1 y ν2 = N2 − 1 grados de libertad. Esta distribución está dada por donde C es una constante que depende de ν1 y ν2, de manera que el área total bajo la curva sea 1, aunque esta forma puede variar de manera notable de acuerdo con los valores de ν1 y ν2.  (Pág. 279)

                                                          BIBLIOGRAFÍA:

*Humberto Gutiérrez Pulido y Román de la Vara Salazar, 2009, Control estadístico de calidad y seis sigma, segunda edición, México, McGraw-Hill

*Ronald E. Walpole, Raymond H. Myers, Sharon l. Myers y Keying Ye, 2012, Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias, Novena edición, México, Pearson educación.

*William G. Marchal y Samuel A. Wathen, 2008, Estadística aplicada a los negocios y la economía, México, McGraw-Hill.

  4.8 DISTRIBUCIÓN CHI CUADRADA.

1. - SEGÚN (RONALD E. WALPOLE, RAYMOND H. MYERS, SHARON L. MYERS Y KEYING YE, 2012)

La variable aleatoria continua X tiene una distribución chi cuadrada, con vgrados de libertad, si su función de densidad es dada por:

  

(Pág. 200)

2.- DE ACUERDO A (DOUGLAS C. MONTGOMERY Y GEORGE C.RUNGER, 2001)

La distribución chi cuadrada es una de las distribuciones de muestreo con mayor utilidad. Está definida en términos de variables aleatorias normales.

Sean Z1, Z2,…, Zk variables aleatorias distribuidas normal e independientemente, con media μ = 0 y varianza σ² = 1. Entonces, la variable aleatoria:

(Pág. 309)

EJEMPLO DEL USO O APLICACIÓN:

1.- DE ACUERDO A (MURRAY R. SPIEGEL Y LARRY J. STEPHENS, 2009)

La desviación estándar en los pesos de paquetes de 40.0 onzas (oz), llenados con una máquina, ha sido 0.25 oz. En una muestra de 20 paquetes se observa una desviación estándar de 0.32 oz. ¿Este aparente incremento en la variabilidad es significativo a los niveles: a) 0.05 y b) 0.01?

      SOLUCIÓN

H0 : σ = 0.25 oz, el resultado observado es casualidad.

H1 : σ > 0.25 oz, la variabilidad ha aumentado.

El valor de χ2 para la muestra es

a) Empleando una prueba de una cola, al nivel de significancia 0.05, se rechaza H₀si los valores muestrales de χ2 son mayores a X².₉₅, lo que es igual a 30.1 para ν = 20 − 1 = 19 grados de libertad. Por lo tanto, se rechaza H₀ al nivel de significancia 0.05.

b) Empleando una prueba de una cola, al nivel de significancia 0.01, se puede rechazar H₀ si los valores muestrales de χ2 son mayores a X².₉₉, lo que es igual a 36.2 para 19 grados de libertad. Se concluye que la variabilidad probablemente ha aumentado. Se recomienda examinar la máquina.” (Pág. 289)

BIBLIOGRAFÍA:

*Ronald E. Walpole, Raymond H. Myers, Sharon l. Myers y Keying Ye, 2012, Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias, Novena edición, México, Pearson educación.

*Humberto Gutiérrez Pulido y Román de la Vara Salazar, 2009, Control estadístico de calidad y seis sigma, segunda edición, México, McGraw-Hill.

*Murray R. Spiegel y Larry J. Stephens, 2009, Estadística, cuarta edición, México, McGraw-Hill. 

  4.7 DISTRIBUCIÓN T-STUDENT.

1. - SEGÚN (MURRAY R. SPIEGEL Y LARRY J. STEPHENS, 2009)

Si se consideran muestras de tamaño N extraídas de una población normal (o aproximadamente normal) cuya media es μ y si para cada muestra se calcula t, usando la media muestral X’ y la desviación estándar muestral s o s^, se obtiene la distribución muestral de t. Esta distribución está dada por: “(Pág. 275)

2.- DE ACUERDO A (HUMBERTO GUTIÉRREZ PULIDO Y ROMÁN DE LA VARA SALAZAR, 2009)

Una de las principales aplicaciones de la distribución T de Student es fundamentar las inferencias sobre la media μ de una población. Debido a que si se obtiene una muestra aleatoria de tamaño n de una población cuya distribución es normal, entonces el estadístico:

Sigue una distribución T de Student con n – 1 grados de libertad. En la tabla A4 del apéndice se dan valores para los diferentes cuantiles o puntos críticos de esta distribución.

EJEMPLO DEL USO O APLICACIÓN:

1.-DE ACUERDO A (RONALD E. WALPOLE, RAYMOND H. MYERS, SHARON L. MYERS Y KEYING YE, 2012)

 Un ingeniero químico afirma que el rendimiento medio de la población de un cierto proceso de lotes es 500 gramos por mililitro de materia prima. Para verificar dicha afirmación muestrea 25 lotes cada mes. Si el valor t calculado cae entre – t 0.05 yt0.05, queda satisfecho con su afirmación. ¿Qué conclusión debería sacar de una muestra que tiene una media ￣x = 518 gramos por mililitro y una desviación estándar muestral s = 40 gramos?

Suponga que la distribución de rendimientos es aproximadamente normal.

Solución:

En la tabla A.4 encontramos que t 0.05 = 1.711 para 24 grados de libertad. Por lo tanto, el ingeniero quedara satisfecho con esta afirmación si una muestra de 25 lotes rinde un valor t entre –1.711 y 1.711. Si μ = 500, entonces,

un valor muy superior a 1.711. La probabilidad de obtener un valor t, con v = 24, igual o mayor que 2.25, es aproximadamente 0.02. Si μ > 500, el valor de t calculado de la muestra seria más razonable. (Pág. 250)

BIBLIOGRAFÍA:

*Murray R. Spiegel y Larry J. Stephens, 2009, Estadística, cuarta edición, México, McGraw-Hill.

*Humberto Gutiérrez Pulido y Román de la Vara Salazar, 2009, Control estadístico de calidad y seis sigma, segunda edición, México, McGraw-Hill.

*William Mendenhall, Robert J. Beaver y Barbara M. Beaver, 2010, Introducción a la probabilidad y estadística, Décima tercera edición, México, Cengage Learning Editores.

 

 4.6 DISTRIBUCIÓN NORMAL.

1.- DE ACUERDO A (JAY L. DEVORE, 2008)

Se dice que una variable aleatoria continua X tiene una distribución normal con parámetros μ y σ (0 μ y σ²), donde –∞< μ < ∞ y σ > 0, si la función de densidad de probabilidad de X es:   (Pág. 145) 

     

   

2.- SEGÚN JAY L. DEVORE, 2008,)

La distribución de probabilidad continua más importante en todo el campo de la estadística. Es la distribución normal. Su gráfica, denominada curva normal, es la curva con

Forma de campana de la fi gura 6.2, la cual describe de manera aproximada muchos fenómenos

Que ocurren en la naturaleza, la industria y la investigación.

pág.145)

3.- SEGÚN (HUMBERTO GUTIÉRREZ PULIDO Y ROMÁN DE LA VARA SALAZAR, 2009)

“La distribución normal es una distribución continua cuya densidad tiene forma de campana. Si X es una variable aleatoria normal, entonces su función de densidad de probabilidades está dada por:

donde μ es su media, y σ su desviación estándar. Al graficar la función f (x) se obtiene una gráfica simétrica y un imodal, cuya forma es similar a una campana. El centro de ésta coincide con μ, y la amplitud está determinada por σ.” (Pág. 51)

EJEMPLO DEL USO O APLICACIÓN:

1.-DE ACUERDO (DENNIS D. WACKERLY, WILLIAM MENDENHALL Y RICHARD L. SCHEAFFER, 2010)

Las calificaciones para un examen de admisión a una universidad están normalmente distribuidas con media de 75 y desviación estándar 10...Que fracción de las calificaciones se encuentra entre 80 y 90? 

      Solución: 

Recuerde que z es la distancia desde la media de una distribución normal expresada en unidades de desviación estándar. Entonces.

Entonces la fracción deseada de la población está dada por el área entre

Esta área esta sombreada en la figura, usted puede ver que A = A(.5) – A(1.5) =.3085 – .0668 = .2417: (Pág. 180 y 181)

BIBLIOGRAFÍA:

*Jay L. Devore, 2008, Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias, séptima edición, México, Cengage Learning Editores.

  4.5 ESPERANZA MATEMÁTICA.

1.-DE ACUERDO (JOHN E. FREUND, IRWIN MILLER, MARYLEES MILLER,2000)

El concepto  de esperanza matemática surgió en la relación con los juegos de azar, y en su forma más simple es el producto de la  cantidad  que  un jugador puede ganar y la probabilidad de que ganará. Por ejemplo, si tenemos uno  de 10,000 boletos en una rifa cuyo premio principal es un viaje que vale $ 4,800, nuestra esperanza matemática es:

  

(pág.129)

2.- DECLARA QUE  (JOHN E. FREUND, IRWIN MILLER, MARYLEES MILLER, 2000.

Llamaremos esperanza de matemática de la variable aleatoria simple X, al número real:

pág.141)

3.- SEGÚN (MURRAY R. SPIEGEL, 1991)

Si p es la probabilidad de que una persona reciba una cantidad S de dinero, la esperanza matemática (o simplemente esperanza) se define como pS. Si X denota una variable aleatoria discreta que puede tomar los valores X1, X2,…, Xk con probabilidades P1, P2 , Pk, donde P1+ P2 +…. + P.k = 1, La esperanza matemática de X, denotada E(X), y se define como:  (Pág.133)

EJEMPLO DEL USO O APLICACIÓN:

1. - (MURRAY R. SPIEGEL, 1991)

Si la probabilidad de que un hombre gane un premio de $10 es 1/5, su esperanza matemática es 1/5($10) = 2: (Pág. 133).

BIBLIOGRAFÍA:

*JOHN E. FREUND, IRWIN MILLER, MARYLEES MILLER, 2000, Estadística matemática con aplicaciones sexta edición.

 

*Murray R. Spiegel, 1991, Estadística, segunda edición, Chile, McGraw-Hill.

 

 4.4  DISTRIBUCIÓN DE POISSON.

1.- DE ACUERDO A (LEVIN, RICHARD I. Y RUBIN, DAVID S., 2010)

La distribución de Poisson se utiliza para describir ciertos tipos de procesos, entre los que se encuentran la distribución de llamadas telefónicas que llegan a un conmutador, las llegadas de camiones y automóviles a una caseta de cobro, y el número de accidentes registrados en cierta intersección. Estos ejemplos tienen en común un elemento: pueden ser descritos mediante una variable aleatoria discreta que toma valores enteros (0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.). La probabilidad de tener exactamente x ocurrencias en una distribución de Poisson se calcula con la fórmula: (Pág. 202)

2.- DECLARA QUE (ALLEN L. WEBSTER 2000)

Una variable aleatoria discreta de gran utilidad en la medición de la frecuencia relativa de un evento sobre alguna unidad de tiempo o espacio es la distribución de Poisson. Con frecuencia se utiliza para describir el número de llegadas de clientes por hora. (pág. 115)

3.- SEGÚN (MURRAY R. SPIEGEL, 1991)

La distribucion de probabilidad discreta

Donde  e=2.71828... y i es una constante dada, se llama la distribución de poisson en honor de siméon-denis poisson, que la descubrió a principios del siglo xix. Los valores de p(x) pueden calcularse usando la tabla  es: 

EJEMPLO DEL USO O APLICACIÓN:

1.- DE ACUERDO A (LEVIN, RICHARD I. Y RUBIN, DAVID S., 2010)

“El número de accidentes está distribuido de acuerdo con una distribución de Poisson, y el Departamento de Seguridad de Tránsito desea que calculemos la probabilidad de que en cualquier mes ocurran exactamente 2 accidentes. Aplicando la fórmula.” (Pág. 203)

2.-Durante un experimento de laboratorio el número promedio de partículas radiactivas que

Pasan a través de un contador en un milisegundo es 4. .Cual es la probabilidad de

Que entren 6 partículas al contador en un milisegundo dado?

Solución: Al usar la distribución de Poisson.  con x = 6 y λ t = 4, y al remitirnos a la tabla A.2, tenemos

Que

p (6; 4) =e−446/6!=6/x =0p(x; 4) −5x=0p(x; 4) = 0.8893 −0.7851 = 0.1042.

BIBLIOGRAFÍA:

*Levin, richard I. y Rubin, David S., 2010, Estadística para administración y economía, Séptima edición, México, PEARSON EDUCACIÓN.

* (Allen L. Webster 2000) estadística aplicada a los negocios y la economía tercera edición

*Murray R. Spiegel, 1991, Estadística, segunda edición, Chile, McGraw-Hill.

*levin, Richard i. y rubín, David s., 2010, estadística para administración y economía, séptima edición, México, Pearson educación

 4.3 DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA.

1.-DECLARA QUE (WALPOLE, MYERS, 2012)

La distribución hipergeometrica consiste en observar la forma en que se realiza el muestro. Los tipos de aplicaciones de la distribución hipergeometrica son muy similares a los de la distribución binomial. Nos  interesa el cálculo de probabilidades  para el número de observaciones  que  cae en una categoría específica. (pág. 152)

2.- DE ACUERDO A (JAY L. DEVORE, 2008)

Si X es el número de éxitos (E) en una muestra completamente aleatoria de tamaño n extraída de la población compuesta de M éxitos y (N _ M) fallas, entonces la distribución de probabilidad de X llamada distribución hipergeométrica, es con x un entero que satisface máx (0, n _ N  _ M) _ x _ mín. (n, M).” (Pág. 117)

3.-SEGÚN QUE (Allen L. Webster 2000)

La distribución hipergeométrica: como se acaba de explicar, la distribución binomial es apropiada solo si la probabilidad de un existo permanece constante para cada interno. Esto ocurre si el muestro se realiza con reemplazo o de una población finita (o muy grande). Sin embargo, si la población es pequeña y ocurre el muestreo sin reemplazo, la probabilidad de un éxito variará. Si la probabilidad de un éxito no es contante, la distribución hipergeometrica es de especial utilidad. La función de probabilidad para la  distribución hipergeometrica es: (pág.115) 

EJEMPLO DEL USO O APLICACIÓN:

1.-DECLARA QUE (WALPOLE, MYERS, 2012) (PÁG. 153)

Lotes con 40 componentes cada uno que contengan 3 o más defectuosos se consideran inaceptables. El procedimiento para obtener muestras del lote consiste en seleccionar 5 componentes al azar y rechazar el lote si se encuentra un componente defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de, que en la muestra, se encuentra exactamente un componente defectuoso, si en todo el lote hay 3 defectuosos?

Solución: Si utilizamos la distribución hipergeometrica con n=5, n=40, k=3  y  x=1, encontramos que la probabilidad de obtener un componente defectuoso es:

2.- DE ACUERDO A (JAY L. DEVORE, 2008)

Se capturaron, etiquetaron y liberaron cinco individuos de una población de animales que se piensa están al borde de la extinción en una región para que se mezclen con la población. Después de haber tenido la oportunidad de mezclarse, se selecciona una muestra aleatoria de 10 de estos animales. Sea X = el número de animales etiquetados en la segunda muestra. Si en realidad hay 25 animales de este tipo en la región, ¿cuál es la probabilidad de que a) X = 2? b) ¿X ≤ 2?

Los valores de los parámetros son n = 10, M = 5 (cinco animales etiquetados en la población) y N = 25, por lo tanto

                Para el inciso A)

                  Para el inciso B)

.- DE ACUERDO A (JAY L. DEVORE, 2008):

Un lote de piezas contiene 100 de un proveedor local de tubería, y 200 de un proveedor del mismo material, pero de otro estado. Si se elige cuatro piezas al azar y sin remplazo, ¿Cuál es la probabilidad que todas provengan del proveedor local?

Sea X el número de partes en la muestra que son del proveedor local. Entonces, X tiene un a distribución hipergeometrica y la probabilidad pedida es P(X=4). En consecuencia,

BIBLIOGRAFÍA:

          *walpole  ,Myers, 2012) probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias noveno edición.

*Jay L. Devore, 2008, Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias, séptima edición, México, Cengage Learning Editores.

* (Allen L. Webster 2000) estadística aplicada a los negocios y la economía tercera edición. McGraw-Hill.

Douglas C. Montgomery e  George C. Runger McGraw-Hill Probabilidad y estadística aplicadas a la ingeniería