4.6 DISTRIBUCIÓN NORMAL.

1.- DE ACUERDO A (JAY L. DEVORE, 2008)

Se dice que una variable aleatoria continua X tiene una distribución normal con parámetros μ y σ (0 μ y σ²), donde –∞< μ < ∞ y σ > 0, si la función de densidad de probabilidad de X es:   (Pág. 145) 

     

   

2.- SEGÚN JAY L. DEVORE, 2008,)

La distribución de probabilidad continua más importante en todo el campo de la estadística. Es la distribución normal. Su gráfica, denominada curva normal, es la curva con

Forma de campana de la fi gura 6.2, la cual describe de manera aproximada muchos fenómenos

Que ocurren en la naturaleza, la industria y la investigación.

pág.145)

3.- SEGÚN (HUMBERTO GUTIÉRREZ PULIDO Y ROMÁN DE LA VARA SALAZAR, 2009)

“La distribución normal es una distribución continua cuya densidad tiene forma de campana. Si X es una variable aleatoria normal, entonces su función de densidad de probabilidades está dada por:

donde μ es su media, y σ su desviación estándar. Al graficar la función f (x) se obtiene una gráfica simétrica y un imodal, cuya forma es similar a una campana. El centro de ésta coincide con μ, y la amplitud está determinada por σ.” (Pág. 51)

EJEMPLO DEL USO O APLICACIÓN:

1.-DE ACUERDO (DENNIS D. WACKERLY, WILLIAM MENDENHALL Y RICHARD L. SCHEAFFER, 2010)

Las calificaciones para un examen de admisión a una universidad están normalmente distribuidas con media de 75 y desviación estándar 10...Que fracción de las calificaciones se encuentra entre 80 y 90? 

      Solución: 

Recuerde que z es la distancia desde la media de una distribución normal expresada en unidades de desviación estándar. Entonces.

Entonces la fracción deseada de la población está dada por el área entre

Esta área esta sombreada en la figura, usted puede ver que A = A(.5) – A(1.5) =.3085 – .0668 = .2417: (Pág. 180 y 181)

BIBLIOGRAFÍA:

*Jay L. Devore, 2008, Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias, séptima edición, México, Cengage Learning Editores.

  4.5 ESPERANZA MATEMÁTICA.

1.-DE ACUERDO (JOHN E. FREUND, IRWIN MILLER, MARYLEES MILLER,2000)

El concepto  de esperanza matemática surgió en la relación con los juegos de azar, y en su forma más simple es el producto de la  cantidad  que  un jugador puede ganar y la probabilidad de que ganará. Por ejemplo, si tenemos uno  de 10,000 boletos en una rifa cuyo premio principal es un viaje que vale $ 4,800, nuestra esperanza matemática es:

  

(pág.129)

2.- DECLARA QUE  (JOHN E. FREUND, IRWIN MILLER, MARYLEES MILLER, 2000.

Llamaremos esperanza de matemática de la variable aleatoria simple X, al número real:

pág.141)

3.- SEGÚN (MURRAY R. SPIEGEL, 1991)

Si p es la probabilidad de que una persona reciba una cantidad S de dinero, la esperanza matemática (o simplemente esperanza) se define como pS. Si X denota una variable aleatoria discreta que puede tomar los valores X1, X2,…, Xk con probabilidades P1, P2 , Pk, donde P1+ P2 +…. + P.k = 1, La esperanza matemática de X, denotada E(X), y se define como:  (Pág.133)

EJEMPLO DEL USO O APLICACIÓN:

1. - (MURRAY R. SPIEGEL, 1991)

Si la probabilidad de que un hombre gane un premio de $10 es 1/5, su esperanza matemática es 1/5($10) = 2: (Pág. 133).

BIBLIOGRAFÍA:

*JOHN E. FREUND, IRWIN MILLER, MARYLEES MILLER, 2000, Estadística matemática con aplicaciones sexta edición.

 

*Murray R. Spiegel, 1991, Estadística, segunda edición, Chile, McGraw-Hill.

 

 4.4  DISTRIBUCIÓN DE POISSON.

1.- DE ACUERDO A (LEVIN, RICHARD I. Y RUBIN, DAVID S., 2010)

La distribución de Poisson se utiliza para describir ciertos tipos de procesos, entre los que se encuentran la distribución de llamadas telefónicas que llegan a un conmutador, las llegadas de camiones y automóviles a una caseta de cobro, y el número de accidentes registrados en cierta intersección. Estos ejemplos tienen en común un elemento: pueden ser descritos mediante una variable aleatoria discreta que toma valores enteros (0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.). La probabilidad de tener exactamente x ocurrencias en una distribución de Poisson se calcula con la fórmula: (Pág. 202)

2.- DECLARA QUE (ALLEN L. WEBSTER 2000)

Una variable aleatoria discreta de gran utilidad en la medición de la frecuencia relativa de un evento sobre alguna unidad de tiempo o espacio es la distribución de Poisson. Con frecuencia se utiliza para describir el número de llegadas de clientes por hora. (pág. 115)

3.- SEGÚN (MURRAY R. SPIEGEL, 1991)

La distribucion de probabilidad discreta

Donde  e=2.71828... y i es una constante dada, se llama la distribución de poisson en honor de siméon-denis poisson, que la descubrió a principios del siglo xix. Los valores de p(x) pueden calcularse usando la tabla  es: 

EJEMPLO DEL USO O APLICACIÓN:

1.- DE ACUERDO A (LEVIN, RICHARD I. Y RUBIN, DAVID S., 2010)

“El número de accidentes está distribuido de acuerdo con una distribución de Poisson, y el Departamento de Seguridad de Tránsito desea que calculemos la probabilidad de que en cualquier mes ocurran exactamente 2 accidentes. Aplicando la fórmula.” (Pág. 203)

2.-Durante un experimento de laboratorio el número promedio de partículas radiactivas que

Pasan a través de un contador en un milisegundo es 4. .Cual es la probabilidad de

Que entren 6 partículas al contador en un milisegundo dado?

Solución: Al usar la distribución de Poisson.  con x = 6 y λ t = 4, y al remitirnos a la tabla A.2, tenemos

Que

p (6; 4) =e−446/6!=6/x =0p(x; 4) −5x=0p(x; 4) = 0.8893 −0.7851 = 0.1042.

BIBLIOGRAFÍA:

*Levin, richard I. y Rubin, David S., 2010, Estadística para administración y economía, Séptima edición, México, PEARSON EDUCACIÓN.

* (Allen L. Webster 2000) estadística aplicada a los negocios y la economía tercera edición

*Murray R. Spiegel, 1991, Estadística, segunda edición, Chile, McGraw-Hill.

*levin, Richard i. y rubín, David s., 2010, estadística para administración y economía, séptima edición, México, Pearson educación

 4.3 DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA.

1.-DECLARA QUE (WALPOLE, MYERS, 2012)

La distribución hipergeometrica consiste en observar la forma en que se realiza el muestro. Los tipos de aplicaciones de la distribución hipergeometrica son muy similares a los de la distribución binomial. Nos  interesa el cálculo de probabilidades  para el número de observaciones  que  cae en una categoría específica. (pág. 152)

2.- DE ACUERDO A (JAY L. DEVORE, 2008)

Si X es el número de éxitos (E) en una muestra completamente aleatoria de tamaño n extraída de la población compuesta de M éxitos y (N _ M) fallas, entonces la distribución de probabilidad de X llamada distribución hipergeométrica, es con x un entero que satisface máx (0, n _ N  _ M) _ x _ mín. (n, M).” (Pág. 117)

3.-SEGÚN QUE (Allen L. Webster 2000)

La distribución hipergeométrica: como se acaba de explicar, la distribución binomial es apropiada solo si la probabilidad de un existo permanece constante para cada interno. Esto ocurre si el muestro se realiza con reemplazo o de una población finita (o muy grande). Sin embargo, si la población es pequeña y ocurre el muestreo sin reemplazo, la probabilidad de un éxito variará. Si la probabilidad de un éxito no es contante, la distribución hipergeometrica es de especial utilidad. La función de probabilidad para la  distribución hipergeometrica es: (pág.115) 

EJEMPLO DEL USO O APLICACIÓN:

1.-DECLARA QUE (WALPOLE, MYERS, 2012) (PÁG. 153)

Lotes con 40 componentes cada uno que contengan 3 o más defectuosos se consideran inaceptables. El procedimiento para obtener muestras del lote consiste en seleccionar 5 componentes al azar y rechazar el lote si se encuentra un componente defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de, que en la muestra, se encuentra exactamente un componente defectuoso, si en todo el lote hay 3 defectuosos?

Solución: Si utilizamos la distribución hipergeometrica con n=5, n=40, k=3  y  x=1, encontramos que la probabilidad de obtener un componente defectuoso es:

2.- DE ACUERDO A (JAY L. DEVORE, 2008)

Se capturaron, etiquetaron y liberaron cinco individuos de una población de animales que se piensa están al borde de la extinción en una región para que se mezclen con la población. Después de haber tenido la oportunidad de mezclarse, se selecciona una muestra aleatoria de 10 de estos animales. Sea X = el número de animales etiquetados en la segunda muestra. Si en realidad hay 25 animales de este tipo en la región, ¿cuál es la probabilidad de que a) X = 2? b) ¿X ≤ 2?

Los valores de los parámetros son n = 10, M = 5 (cinco animales etiquetados en la población) y N = 25, por lo tanto

                Para el inciso A)

                  Para el inciso B)

.- DE ACUERDO A (JAY L. DEVORE, 2008):

Un lote de piezas contiene 100 de un proveedor local de tubería, y 200 de un proveedor del mismo material, pero de otro estado. Si se elige cuatro piezas al azar y sin remplazo, ¿Cuál es la probabilidad que todas provengan del proveedor local?

Sea X el número de partes en la muestra que son del proveedor local. Entonces, X tiene un a distribución hipergeometrica y la probabilidad pedida es P(X=4). En consecuencia,

BIBLIOGRAFÍA:

          *walpole  ,Myers, 2012) probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias noveno edición.

*Jay L. Devore, 2008, Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias, séptima edición, México, Cengage Learning Editores.

* (Allen L. Webster 2000) estadística aplicada a los negocios y la economía tercera edición. McGraw-Hill.

Douglas C. Montgomery e  George C. Runger McGraw-Hill Probabilidad y estadística aplicadas a la ingeniería

 4.2 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.

1.-DECLARA QUE (WALPOLE, MYERS, 2012)

El número X de éxitos en n experimentos de Bernoulli se denomina variable aleatoria binomial. La distribución de probabilidad de esta variable aleatoria. (pág: 144)

2.- SEGÚN (MURRAY R. SPIEGEL, 1991)

Si p es la probabilidad de que ocurra un suceso en un solo intento (llamada probabilidad de éxito) y q = 1 – p es la probabilidad de que no ocurra en un solo intento (llamada probabilidad de fracaso), entonces la probabilidad de que el suceso ocurra exactamente X veces en N intentos (o sea, X éxitos y N – X fracasos) viene dada por. (Pág. 159)

3.-DE ACUERDO (LEVIN, RUBIN, BALDERAS, DEL VALLE, GÓMEZ 2004)

La distribución binomial: Esta distribución describe una variedad de procesos de interés para los administradores. Por otra parte, describe datos discretos, no continuos, que son resultados de un experimento conocido como proceso. (pág.191)

EJEMPLO DEL USO O APLICACIÓN:

1.- DECLARA QUE (walpole, Myers, 2012

Ejemplo: la probabilidad  de que cierta clase de componente sobreviva a una prueba de choque es de ¾. Calcule  la probabilidad de que sobrevivan exactamente 2 de los siguientes 4 componentes que se prueben.

Solución: si suponemos que  las pruebas son  independientes y p=3/4 para cada una de las 4 pruebas, obtenemos (pág.144)

2.- SEGÚN (Murray R. Spiegel, 1991)

La probabilidad de obtener exactamente 2 caras en 6 tiradas de una moneda es:

3.- DECLARO QUE (LEVIN, RUBIN, BALDERAS, DEL VALLE, GÓMEZ 2004)

Utilizando la fórmula binomial para resolver nuestro problema, descubrimos es:

BIBLIOGRAFÍA:

         *walpole, Myers, 2012) probabilidad y estadística para ingeniería y      ciencias noveno edición.

* Murray R. Spiegel, 1991, Estadística, segunda edición, Chile, McGraw-Hill.

*levin, rubin, Balderas, del valle, Gómez 2004) estadística para administración y economía séptima edición Pearson.

4.1 FUNCIÓN DE PROBABILIDAD.

1.-DECLARA QUE (Elmer B. Mode, 1982)

Una función de probabilidad de una variable aleatoria discreta, X, se define como el conjunto de parejas ordenadas {xi, f (xi)}, donde xi es un número real:

(pág.95)

2.- DE ACUERDO (HAROLD J. LARSON ,1992)

La funciones de probabilidad de variables aleatorias geométricas.

EJEMPLO DEL USO O APLICACIÓN:

1.- JULIO FERNANDO SUAREZ CIFUENTES ,2002) (pág.140)

BIBLIOGRAFÍA:

* (Elmer B. Mode,1982) Elementos de probabilidad y estadística

* (HAROLD J. LARSON ,1992),introducción a la teoría de probabilidades e inferencia estadística 

* JULIO FERNANDO SUAREZ CIFUENTES ,2002,introducion a la teoría de probabilidad

 “DISTRIBUCIONES MUESTRALES”

1.-DECLARA QUE (MICHAEL J.EVANS, JEFFEREY S. ROSENTHAL, 2004)

Las distribuciones muestrales consideremos un ejemplo muy sencillo por ejemplo (pág. 220)

2. – SEGÚN QUE (DOUGLAS C. MONTGOMERY Y GEORGE C. RUNGE.

La función fx(x)=p(X=x) que va del conjunto de los valores posibles de la variable aleatoria discreta X al intervalo [0, 1] recibe el

Nombre de función de probabilidad.

Para una variable aleatoria X, fx (x) satisface las propiedades siguientes:

Fx (x)=p(X=x)

Fx(x) ≥ 0 para toda x

∑ Fx (x)=1

De acuerdo a ():

El número X de éxitos en n experimentos de Bernoulli se denomina variable aleatoria

BIBLIOGRAFÍA:

* michael j.evans, jefferey s. rosenthal, 2004) probabilidad y estadística la ciencia de la incertidumbre.

* Douglas C. Montgomery e  George C. Runger  McGraw-Hill Probabilidad y estadística aplicadas a la ingeniería.